Comme nous l'avons déjà vu, le rubik's cube possède une multitude de configurations distinctes, dont une correspond à son état résolu avec chaque couleur disposée sur chaque face. Nous nous sommes donc demandé quelle était la probabilité de résoudre le cube mélangé en effectuant des rotations hasardeusement. Il suffit pour cela d'effectuer un calcul que nous allons expliquer.
Connaître le nombre de combinaisons possibles nécessite de connaître les positions et orientations que peuvent prendre chaque "petits" cubes. Les cubes centraux ne sont pas pris en compte puisqu'ils gardent leur place quoiqu'il arrive. Il reste alors à déterminer les positions et orientations possibles des cubes-arrêtes et des cubes-sommets. Nous verrons que des contraintes entrent en jeu.
Le rubik's cube est formé de huit cubes-sommets (que nous appellerons CS). Ainsi, un CS peut prendre huit
positions différentes, le deuxième CS ne pourra alors prendre que sept positions (la huitième position étant occupée par
le premier CS), le troisième que 6 etc.
Nous pouvons alors dire qu'il y a 8×7×6×5×4×3×2, ou 8! (se lit huit factoriel) positions pour les CS.
Chaque CS a trois couleurs et peut être orienté de trois façons. Ainsi, chaque CS peut prendre trois orientations différentes dans chacune de ses huit positions.
Nous en déduisons que le nombre d'orientations des CS est de 38.
Les combinaisons possibles pour les CS sont au nombre de 8! × 38.
Il reste donc les douze cubes-arrêtes (ou CA). Le premier CA peut occuper douze positions, le deuxième seulement
onze etc...
Alors, il y a 12! positions pour les CA.
Les CA contrairement aux CS ne sont constitués que de deux couleurs et chacun d'eux peut être orienté
de deux manières différentes.
Il est donc logique que le nombre d'orientations des CA soit de 212.
Les combinaisons possibles pour les CA sont au nombre de 12! × 212.
Effectivement, lorsque sept CS sont orientés, alors l'orientation du huitième est imposée. Une division
par deux du futur résultat est nécessaire.
De plus, il en est de même pour l'orientation du douzième CA, il faut donc également diviser par trois le nombre
de combinaisons.
Pour mieux comprendre cela, il suffit de s'imaginer qu'il est impossible
de changer l'orientation d'un seul cube-arrête ou sommet et qu'il est impossible lors de la résolution
du rubik's cube qu'il reste uniquement un cube à orienter.
Enfin, il est impossible de déplacer grâce à un quelconque algorithme seulement deux cubes, qu'il s'agisse de CA ou de CS.
Ce qui veut dire que la position des deux derniers cubes à déplacer est déterminée et imposée. Nous diviserons à nouveau
par deux le résultat.
Le nombre de possibilités sans les contraintes est de : 8! × 38 × 12! × 212.
Le véritable résultat est en fait : 8! × 37 × 12! × 210 = 43 252 003 274 489 856 000 états différents !
Eh oui ! A chaque rotation effectuée hasardeusement sur le rubik's cube bien mélangé; une personne possède
une chance sur 43 milliards de milliards de le résoudre!
Analyse des outils mathématiques et mystiques liés à la résolution du Rubik's cube.